Ejemplos y aplicaciones de Tasa de Interés compuesto
I) Una persona está obligada a saldar una deuda de UYU 50.000 exactamente dentro de 3 años. ¿Cuánto tendría que invertir hoy a interés compuesto al 6 % anual para llegar a disponer de esa cantidad dentro de 3 años y cumplir con el pago de su deuda?
Aplicando la fórmula M = C × (1 + i)n, despejamos la incógnita que, en este caso, es la C, es decir, el capital que hoy debería invertir a interés compuesto para obtener UYU 50.000 dentro de 3 años.
M = UYU 50.000.
n = 3.
C = incógnita.
i = 0,06.
Invirtiendo la ecuación, dividimos ambos miembros de la igualdad por (1 + i)n y obtenemos que:
C= M / (1+i)n
Sustituimos en la fórmula las cifras que se conocen:
C = 50.000 / (1+0.06)3 = 50.000 / 1.191016 = UYU 41.981
Es decir, que alguien que disponga hoy de UYU 41.981 y lo invierta con un rendimiento del 6 % a interés compuesto, durante 3 años, al cabo de ese tiempo tendrá: UYU 50.000.
II) ¿Cuál es el interés compuesto sobre UYU 15.000 al 4 % anual durante 5 años?
De aplicar la fórmula M = C × (1 + i)n, surge que el interés compuesto es la diferencia entre el capital C, que se invierte al 4 % anual durante 5 años, y el monto M, que se desconoce. Se debe hallar, en primer término, el monto M, es decir, la cifra a la que se llegará al invertir UYU 15.000 durante 5 años al 4 %:
M = 15.000 × (1,04)5 = UYU 18.250
El monto de interés compuesto surge como diferencia entre el monto compuesto y el capital inicial y, en este caso, asciende a UYU 3250, es decir:
18.250 – 15.000 = UYU 3250
III) En ocasiones es posible plantearse cuál sería el monto compuesto. Por ejemplo: ¿cuánto tendré, al cabo de 6 meses, en el caso de invertir hoy UYU 10.000 al 5 % anual?
Utilizando la fórmula M = C × (1 + i)n, despejamos la incógnita que, en este caso, es la M.
M = incógnita.
n = ½ porque se trata de 6 meses y la tasa es anual.
i = 0,05.
C = UYU 10.000.
Aplicamos la fórmula:
M = 10.000 × (1 + 0,05)½ = 10.000 × (1,05)½
Esto es lo mismo que:
10.000 = 10.000 × 1,02469508 = UYU 10.247
Con lo cual, si se dispone hoy de UYU 10.000 y se coloca, durante 6 meses, al 5 % anual, se obtiene la suma de UYU 10.247.
IV) Se dispone de dos opciones para invertir un capital de UYU 10.000. Una de ellas implica colocar una suma de dinero durante 2 años al 3 % de interés compuesto y la otra, colocar ese mismo dinero a 1 año al 5 % anual de interés compuesto. ¿Cuál es la opción de mayor monto?
Aplicando la fórmula M = C × (1 + i)n, hallamos que:
Primera opción:
M = 10.000 × (1,03)2 = UYU 10.609
Segunda opción:
M = 10.000 × (1,05)1 = UYU 10.500
La primera opción genera, para un capital de UYU 10.000 que invierto hoy, un monto de UYU 10.609 al cabo de 2 años. La segunda opción implica que, al cabo de 1 año, obtendré un monto de UYU 10.500.
V) Si alguien deposita UYU 5000 en un banco que paga el 6 % de interés anual: ¿cuántos años tienen que pasar para obtener un monto superior a UYU 8500?
Empleamos la fórmula M = C × (1 + i)n:
8500 = 5000 × (1,06)n
Lo que es lo mismo que:
8.500/5.000 = (1,06)n
A los efectos de resolver este problema, se aplicará la siguiente tabla con el objetivo de ilustrar sobre su uso y aplicaciones.
TABLA: Monto compuesto de 1 a interés compuesto
Cálculo basado en la fórmula M = C × (1 + i)n.
Es decir:
1,06n = 8.500/5.000,
Con lo cual:
1,70 = (1,06)n
Entonces, para obtener un monto superior a UYU 8500 nos debemos fijar en la tabla, en la columna del 6 %, cuántos años hay que colocar UYU 1 al 6 % anual para obtener un monto superior a UYU 1,70. El resultado son 10 años. En efecto, al colocar UYU 5000 al 6 % durante 10 años nos da un monto compuesto de:
5000 × (1,06)10 = UYU 8954
Este ejercicio pudo haber sido resuelto con una calculadora que tenga la función potencia, con una calculadora financiera o a través de una planilla electrónica de cálculo.
- VI) Determinar a qué tasa es preciso colocar durante 9 años un capital de UYU 5000 para obtener una cifra mayor a UYU 6500.
Utilizando la tabla y la fórmula M = C × (1 +i)n:
6500 = 5000 × (1 + i)9
Lo que equivale a decir que:
1,30 = (1 + i)9
Por lo que i es, al menos, del 3 %, según surge de la tabla.
En resumen, se llama tasa de interés compuesto al proceso de ir acumulando al capital los intereses que este produce, de forma que, a su vez, los intereses produzcan intereses.